Cabecao e Acauan: Entre Euclides e Cantor

Neotribalista

Trecho de O Jardim das Aflicoes, de Olavo de Carvalho:
http://www.dimap.ufrn.br/pipermail/logica-l/2012-November/008772.html

Aqui um comentario em ingles sobre o trecho: http://philosophy.stackexchange.com/questions/1934/is-cantors-theorem-based-on-a-fallacy

Este e um dos textos de O. de C. que seus opositores mais apontam. Gostaria que comentassem.

Cantor refuta ou nao o quinto postulado de Euclides?
Qual o erro do argumento do Olavo ao afirmar que o conjunto de números inteiros pares é só uma forma de se contar o conjunto de números inteiros? (já supondo que há mesmo um erro)

Neotribalista

Só para dar um exemplo: O célebre Georg Cantor acreditou poder refutar o 5º princípio de Euclides ( de que o todo é maior que a parte ) pelo argumento de que o conjunto dos números pares, embora sendo parte do conjunto dos números inteiros, pode ser posto em correspondência biunívoca com ele, de modo que os dois con- juntos teriam o mesmo número de elementos e, assim, a parte seria igual ao todo: 1, 2, 3, 4..... n 2, 4, 6, 8..... 2n = n Com esta demonstração, Cantor e seus epígonos acreditavam estar derrubando, junto com um princípio da geometria antiga, também uma crença estabelecida do senso comum e um dos pilares da lógica clássica, descortinando assim os horizontes de uma nova era do pensamento humano. Esse raciocínio baseia-se na suposição de que tanto o conjunto dos números inteiros como o dos pares são conjuntos infinitos atuais, e ele pode portanto ser re- jeitado por quem acredite, com Aristóteles, que o infinito quantitativo é só potencial, nunca atual. Mas, mesmo aceitando-se o pressuposto dos infinitos atuais, a demons- tração de Cantor é apenas um jogo de palavras, e bem pouco engenhoso no fundo. Em primeiro lugar, é verdade que, se representarmos os números inteiros cada um por um signo ( ou cifra ), teremos aí um conjunto ( infinito ) de signos ou cifras; e se,nesse conjunto, quisermos destacar por signos ou cifras especiais os números que representem pares, então teremos um “segundo” conjunto que será parte do primeiro; e, sendo ambos infinitos, os dois conjuntos terão o mesmo número de ele- mentos, confirmando o argumento de Cantor. Mas isso é confundir os números com seus meros signos, fazendo injustificada abstração das propriedades matemáticas que definem e diferenciam os números entre si e, portanto, abolindo implicitamente também a distinção mesma entre pares e ímpares, na qual se baseia o pretenso ar- gumento. “4” é um signo, “2” é um signo, mas não é o signo “4” que é o dobro de 2, e sim a quantidade 4, seja ela representada por esse signo ou por quatro bolinhas. O conjunto dos números inteiros pode conter mais signos numéricos do que o con- junto dos números pares— já que abrange os signos de pares e os de ímpares—, mas não uma maior quantidade de unidades do que a contida na série dos pares. A tese de Cantor escorrega para fora dessa obviedade mediante o expediente de jogar com um duplo sentido da palavra “número”, ora usando-a para designar uma quantidade definida com propriedades determinadas ( entre as quais a de ocupar um certo lugar na série dos números e a de poder ser par ou ímpar ), ora para designar o mero signo de número, ou seja, a cifra. A série dos números pares só é composta de pares porque é contada de dois em dois, isto é, saltando-se uma unidade entre cada dois números; se não fosse con- tada assim, os números não seriam pares. De nada adianta aqui recorrer ao subter- fúgio de que Cantor se refere ao mero “conjunto” e não à “série ordenada”; pois o conjunto dos números pares não seria de pares se seus elementos não pudessem ser ordenados de dois em dois numa série ascendente ininterrupta que progride pelo acréscimo de 2, nunca de 1; e nenhum número poderia ser considerado par se pudesse livremente trocar de lugar com qualquer outro na série dos inteiros. “Pari- dade” e “lugar na série” são conceitos inseparáveis: se n é par, é porque tanto n+1 como n-1 são ímpares. Nesse sentido, é unicamente a soma implícita das unidades não mencionadas que faz com que a série de pares seja de pares. Portanto— e eis aqui a falácia de Cantor—, não há aqui duas séries de números, mas uma única, contada de duas maneiras: a série dos números pares não é realmente parte da série dos números inteiros, mas é a própria série dos números inteiros, contada ou nomeada de uma determinada maneira. A noção de “conjunto” é que, desta- cada abusivamente da noção de “série”, produz todo esse samba-do-alemão-doido, dando a aparência de que os números pares podem constituir um “conjunto” inde- pendentemente do lugar de cada um na série, quando o fato é que, abstraída a posi- ção na série, não há mais paridade ou imparidade nenhuma. Se a série dos números inteiros pode ser representada por dois conjuntos de signos, um só de pares, outro de pares mais ímpares, isto não significa que se trata de duas séries realmente distin- tas. A confusão que existe aí é entre “elemento” e “unidade”. Um conjunto dex uni-dades contém certamente o mesmo número de “elementos” que um conjunto dex pares, mas não o mesmo número de unidades. O que Cantor faz é, no fundo, substancializar ou mesmo hipostasiar a noção de “par” ou “paridade”, supondo que um número qualquer possa ser par “em si”, inde- pendentemente de seu lugar na série e de sua relação com todos os demais números (inclusive, é claro, com sua própria metade), e que os pares possam ser contados como coisas e não como meras posições intercaladas na série dos números inteiros. No seu “argumento”, não se trata de uma verdadeira distinção entre todo e par- te, mas sim de uma comparação meramente verbal entre um todo e o mesmo todo, diversamente denominado. Não se tratando de um verdadeiro todo e de uma verda- deira parte, não se pode falar então de uma igualdade de elementos entre todo e parte, nem, portanto, de uma refutação do 5º princípio de Euclides. Cantor erra o alvo por muitos metros.

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No livro, está na página 151 (tenho a segunda edição), Livro IV Os Braços e a Cruz, Capítulo VII O materialismo espirital, §20. A divinização do espaço (II): O infinito de Nicolau de Cusa.

Há uma nota de rodapé no livro que diz que o professor Fernando Raul de Assis Neto, da Universidade Federal de Pernambuco, fugiu do debate.

Malak

Não conheço direito a teoria de Cantor e nem li o Jardim das Aflições, mas o Olavo comentou em algum lugar que ele dizia que a teoria de Cantor não correspondia a nada na realidade, e não que a teoria de Cantor estaria errada ou refutaria Euclides ou o que quer que seja.

Mesmo por que refutar um postulado é totalmente contraditório, na matemática se colocam postulados e se desenvolvem consequencias a partir deles. Se os postulados e as consequências correspondem à realidade ou não, não é problema dos matemáticos puros que fazem as teorias, no máximo talvez do pessoal da matemática aplicada. A teoria de Cantor e a de Euclides podem chegar a conclusões contrárias, ou que correspondam a nada na realidade, e isso não significaria que uma refuta a outra, ou que alguma esteja "errada" (o que meio que significa nada em relação a postulados e definições, mas tudo bem).

Acauan

Pelo que entendi, trata-se apenas de interpretar o mesmo problema a partir de premissas diferentes.

Olavo de Carvalho interpreta os números pelo princípio de quantidade.
Assim, para ele, o conjunto dos números inteiros 1,2,3,4 não pode ser igual ao conjunto dos números pares 2,4,6,8 porque a quantidade de algarismos é igual, mas as quantidades representadas pelos algarismos são diferentes. Assim, se substituirmos 1 por uma bolinha, 2 por duas, 3 por três e assim por diante, o conjunto dos números naturais terá sempre mais bolinhas que o dos números pares.
Esta é a tese do Olavo.

Na contestação, o matemático Jim argumenta exatamente isto:

"Pode-se discutir se a noção de cardinalidade usada em matemática corresponde à noção intuitiva de "tamanho", mas este argumento não afeta a verdade do teorema de Cantor como interpretado pelos matemáticos."

Ou seja - como interpretado pelos matemáticos".
Na interpretação dos matemáticos, pelas definições da teoria dos conjuntos, cada algarismo é considerado um elemento e contado como tal, independente da quantidade que representa. É o que chamam de cardinalidade.

Olavo de Carvalho é essencialmente um realista que entende que a abstração é um meio de entender o concreto, enquanto para os matemáticos a abstração é um objetivo em si.

Os matemáticos usam repetidamente o termo "cardinalidade" para defender Cantor, mas aí caem de fato no jogo de palavras do qual o Olavo falou, pois "cardinalidade" nada mais é que a premissa que justifica a tese sem necessidade de demonstrá-la.

A questão final é se Euclides falou em quantidades ou em "cardinalidade". Em conhecendo Euclides e os gregos, acredito que falava em quantidades, o que o aproxima mais do Olavo do que de Cantor e seus defensores.

ufka_Cabecao

Infinito e uma daquelas palavras que tem sentidos bem diferentes em varios contextos.
E conceitos e teoremas em alguns contextos nao tem clara analogia com outros contextos.

No caso da teoria de conjuntos, o infinito dos numeros naturais surge como resultado logico da forma como os numeros naturais sao abstratamente construidos. Conjuntos sao finitos se existe N para o qual eles podem ser indexados por numeros naturais menores que N.

E possivel (um tanto nao trivial para quem nao fez viu matematica na faculdade) provar que duas indexacoes diferentes de um mesmo conjunto finito possuem o mesmo cardinal.

E como nao existe um N para o qual o conjunto dos numeros naturais pode ser indexado, ele e nao-finito, ou infinito.

Ele nao eh um infinito potencial ou atual. Qualquer utilidade que esses conceitos de atualidade e potencia possam ter na filosofia e teologia, eles nao tem sentido nesse contexto abstrato.

Fernando_Silva

Também temos um conjunto infinito de números reais entre, por exemplo, N e N+1. Ou seja, o intervalo entre, digamos, 2 e 3 é finito, mas há infinitos números reais entre os dois.